方差与标准差 - 练习题
10只柯利犬的体重（kg）汇总数据：\(\sum w = 241\)，\(\sum w^2 = 5905\)
求标准差
解答过程：
• 数据个数：\(n = 10\)
• 均值：\(\bar{w} = \frac{241}{10} = 24.1\) kg
• 方差：\(\sigma^2 = \frac{5905}{10} - (24.1)^2 = 590.5 - 580.81 = 9.69\)
• 标准差：\(\sigma = \sqrt{9.69} \approx 3.11\) kg
学生每周零花钱（OMR）的频率表如下：
| 零花钱（OMR） | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|
| 频率\( f \) | 14 | 8 | 28 | 15 | 20 |
a 求均值和标准差（带单位）；b 求零花钱超过均值+1个标准差的学生数
a 均值和标准差：
• 加权和：\(\sum fx = 8×14 + 9×8 + 10×28 + 11×15 + 12×20 = 112 + 72 + 280 + 165 + 240 = 869\)
• 加权平方和：\(\sum fx^2 = 8^2×14 + 9^2×8 + 10^2×28 + 11^2×15 + 12^2×20 = 896 + 648 + 2800 + 1815 + 2880 = 9039\)
• 总频率：\(\sum f = 14+8+28+15+20 = 85\)
• 均值：\(\bar{x} = \frac{869}{85} \approx 10.22\) OMR
• 方差：\(\sigma^2 = \frac{9039}{85} - (10.22)^2 = 106.34 - 104.45 \approx 1.89\)
• 标准差：\(\sigma = \sqrt{1.89} \approx 1.375\) OMR
b 超过均值+1个标准差的学生数：
• 均值+标准差 ≈ 10.22 + 1.375 = 11.595 OMR
• 零花钱≥12的学生数为20，故有20名学生
机器零件寿命（小时）的频率表如下，制造商声称"90%的零件寿命超过均值-1个标准差"，请评价该声明。
| 寿命\( h \)（小时） | \( 5 < h \leq 10 \) | \( 10 < h \leq 15 \) | \( 15 < h \leq 20 \) | \( 20 < h \leq 25 \) | \( 25 < h \leq 30 \) |
|---|---|---|---|---|---|
| 频率\( f \) | 5 | 14 | 23 | 6 | 2 |
解答过程：
步骤1：计算组中值和统计量
| 寿命区间 | 组中值\( x \) | 频率\( f \) | \( fx \) | \( fx^2 \) |
|---|---|---|---|---|
| \( 5 < h \leq 10 \) | 7.5 | 5 | 37.5 | 281.25 |
| \( 10 < h \leq 15 \) | 12.5 | 14 | 175 | 2187.5 |
| \( 15 < h \leq 20 \) | 17.5 | 23 | 402.5 | 7043.75 |
| \( 20 < h \leq 25 \) | 22.5 | 6 | 135 | 3037.5 |
| \( 25 < h \leq 30 \) | 27.5 | 2 | 55 | 1512.5 |
| 总计 | - | 50 | 805 | 14062.5 |
步骤2：计算均值和标准差
• 均值：\(\bar{h} = \frac{805}{50} = 16.1\) 小时
• 方差：\(\sigma^2 = \frac{14062.5}{50} - (16.1)^2 = 281.25 - 259.21 = 22.04\)
• 标准差：\(\sigma = \sqrt{22.04} \approx 4.70\) 小时
步骤3：验证制造商声明
• 均值-1个标准差 ≈ 16.1 - 4.70 = 11.4 小时
• 寿命超过11.4小时的频率：\(14+23+6+2=45\)
• 占比：\(\frac{45}{50}×100\% = 90\%\)
• 结论：制造商的声明准确